Teoría de colas


Es el estudio matemático de las líneas de espera o colas dentro de una red de comunicaciones. Su objetivo principal es el análisis de varios procesos, tales como la llegada de los datos al final de la cola, la espera en la cola, entre otros.

La teoría de colas generalmente es considerada una rama de investigación operativa porque sus resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones.

En el contexto de la informática y de las nuevas tecnologías, las situaciones de espera dentro de una red son más frecuentes. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para su ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos; la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red; también se puede recibir la señal de línea de la que depende nuestro teléfono móvil ocupada si la central está colapsada en ese momento, etc.
Otros campos de utilización son la logística de los procesos industriales de producción, ingeniería de redes y servicios, ingeniería de sistemas informáticos, y elaboración de proyectos sustentables.


Historia

El matemático danés Agner Krarup Erlang, trabajador de la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el primer artículo sobre la teoría de colas en 1909. Específicamente se preocupó del estudio del problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas.


Modelo de formación de colas

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.
En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.


Objetivos

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:
  • Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.
  • Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
  • Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
  • Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.


Elementos existentes en la teoría de colas


Proceso básico de colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas. 


Fuente de entrada o población potencial: Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito.

Proceso básico de colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio como por ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse.

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita.

Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:

  • FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.
  • LIFO (last in first out) también conocida como pila que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.
  • RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden.
  • Processor Sharing – sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el mismo retraso.

Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores.


Redes de colas. Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una a otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos multitarea.

Cola: Una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas.

El proceso de servicio: Define cómo son atendidos los clientes.

El Sistema de la Cola: Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:





Clasificación de los modelos de colas

Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas, según sus características o propiedades. Esta clasificación se aplica a modelos de servicio único prestado por una o varias estaciones. Los modelos se identifican mediante la siguiente convención, en letras:

Clasificación de Kendall: A/B/C: (D/E/F)

donde las letras o campos se usan según la siguiente convención:

A = En esta campo se coloca la distribución del tiempo entre llegadas
B = En este campo se especifica la distribución del tiempo de servicio
C = Se usa para identificar el número de estaciones de servicio, en paralelo
D = En este campo se especifica la prioridad del sistema. Por defecto se supone que es FIFO.
E =Indica la capacidad de sistema (Por defecto ise supone que es limitada)
F = Tamaño de la fuente (Por defecto se asume que es ilimitada)

Para especificar la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se servicio se usa la siguiente convención:

• M = Distribución exponencial
• G = Distribución general
• Ek = Distribución de Erlang
• D = Distribución constante

A veces la clasificación es simplemente A/B/C, y si es del caso se especifica con palabras alguna otra propiedad del sistema.

Ejemplo: M/M/5: (FIFO/∞/∞)
Ejemplo: M/M/1: (FIFO/10/∞)
Ejemplo: M/M/s: (FIFO/M/M)
Ejemplo: M/G/1

A continuación se analizan diferentes modelos que son útiles para simular los fenómenos de espera. Sin embargo, previamente es necesario definir algunos parámetros y variables usados en los diferentes modelos, y las relaciones que son válidas para todos los modelos de canales en paralelo.

Parámetros, variables y relaciones básicas

Parámetros

Los principales parámetros usados en los modelos de colas son los siguientes
• S = Número de servidores o estaciones de servicio, en paralelo
• λ = Tasa media de llegada de clientes al sistema
• μ = Tasa media de servicio por estación
• m = Tamaño de la fuente (número máximo de clientes que pueden llegar al sistema)
• N = Capacidad del sistema (número máximo de clientes que pueden haber en el sistema en cualquier instante)

Variables de estado

Las principales variables de estados usadas son:
• X(t) = n = Número de clientes que hay en el sistema en cualquier instante
• v = Número de clientes que hay en la cola en cualquier instante. Se supone que existe una cola que alimenta todas las estaciones de servicio
• a = Número de clientes que están recibiendo servicio en cualquier instante. También es equivalente al número de servidores ocupados
• r = Número de servidores inactivos
• Pn(t) = Probabilidad de que haya n personas en el sistema en el tiempo t

Medidas de congestión

Se denominan medidas de congestión aquellas medias o indicadores que reflejan el comportamiento general del sistema a largo plazo, o en régimen permanete. Se refieren, por lo general, a las variables endógenas o de salida del sistema

• Pn = Probabilidad, a largo plazo, de que haya n personas en el sistema
• L = Número esperado de clientes en el sistema
• Lq = Número esperado de clientes en la cola
• W = Tiempo esperado de permanencia de un cliente en el sistema
• Wq = Tiempo medio de espera de un cliente antes de ser atendido (tiempo de permanencia en la cola)
• Wq/Wq>0 = Tiempo medio de espera de un cliente en la cola, cuando tiene que esperar.
• a = Número medio de clientes que reciben servicio
•N = Número medio de servidores ocupados
• r = Número de servidores inactivos
• P(Wq>0) = Probabilidad de que un cliente tenga que esperar 



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